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四十三庵

蔀の雑記帳

モンティ・ホール問題について

資格・勉強

○モンティ・ホール問題とは
モンティ・ホール問題 - Wikipedia


こういう問題です。


「プレイヤーの前に3つのドアがあって、
1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろにはヤギ(はずれを意味する)がいる。
プレイヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。
プレイヤーが1つのドアを選択した後、モンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。


ここでプレイヤーは最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更しても良いと言われる。
プレイヤーはドアを変更すべきだろうか?」



○解答
僕もはじめは「どちらでも変わらない」と思いました。
しかし正解は、「変えた方がよい」。
しかも確率で言うと、33%、変更後のドアの方が当たりやすいことになる。


○解説
まずはじめに、ドア3つから1つ選ぶ段階で、当たる確立はそれぞれ1/3。
で、一つのドアを選んだ後、ヤギのいるドアがあけられる。
その時点でドアは二つになって、車かヤギかの二者択一になる。
(迂闊に考えると、ここで確率が1/2にリセットされたように感じるが、注意)
はじめにあなたが選んだドアは確率1/3で当たり。
もう一つのドアは確率2/3で当たりである。
したがって、変更した方がいい。


納得して頂けただろうか。
多分、初見の方は「なんでドアが二つなのに1/3なんだよこの知障が」と憤慨するだろうけど、僕はもう納得している。
いつかあなたもそうなれるはずだ。
以下、二通りのアプローチから、更に解説していきたい。
一つは、実験して、統計データをとって、確率が違うということを証明する。
もう一つは、理屈で攻めてみる(って言っても大した話じゃないけど)。


○論より証拠
初見の人が納得いかないのはわかる。
僕もはじめそうだったし、高名な数学者の方が普通にひっかかったらしい問題なので、当然だ。


こういう場合は実際に実験した方が、頭で考えるより確実だ。
この手の実験は、プログラムを組んで、パソコンにやれせると便利だ。
うちの大学に大西さんという変態教授(誉め言葉)がいて、
経済学部なのにパソコンをいじることしかやってない教授がいる。
彼が「統計データ解析」という講義用にExcelでマクロを組み、
モンティ・ホール問題の正解を、統計的に確認するということをやらせた。


sda-MontyHall.xls
著作権とかで問題があればただちに削除します)


Excelの「開発」→「マクロのセキュリティ」→「全てのマクロを有効にする」を選択しないと動かない。
まあなんか材料も全て用意されて、下ごしらえも全て済んで、
後は火を通すだけです、さあ料理してください、って言われてるような内容だけど。
で、気になる人は勝手に自分でやって頂きたいんだけど、
(知的エリートとやらが多いはてな民のことだから、
きっとこの程度のマクロは「自分で組め」と言われても出来るレベルなのでしょう)
僕がやった結果は、こんな風になった。


統計欄---------回数----当たった回数-----当たった割合
変更しない------76----------21--------------28%
変更する--------53----------34--------------64%
全体-----------129----------55--------------43%
(100回じゃサンプル数が少ない?うるせえ!)


これより、
扉を変更しない場合、28%。
扉を変更した場合、64%。


まあホントに面倒くさくて、あんまり実験しなかったから、サンプル数少ないんだけど、
1000回もやれば、ほぼ33%と66%に収束してくだろう。


僕が心底モンティ・ホール問題の正解ですっきりしたのが、この講義だった。大西さんありがとう。


○場合わけで考えよ
で、統計でやってもいいんだけど、理詰めで考えていっても、実はわかる。

扉を、A、B、Cと名前をつける。
はじめにあなたがAを選んだとする。
で、司会者がBかCを開いて、その中に山羊がいて、さあ変えようかどうしようか、という段階。
よく考えて頂きたいのは、ここで問題は、A、B、Cのどれか一つが正解だ、ということ。


・Aが正解なら
司会者はBかCのどちらかを開く。
どちらにせよこの場合は「変更なかったら当たり」。
(ここでBを開くか、Cを開くかは確率を考える上では重要ではない)


・Bが正解なら
司会者はCを開く。
「変更したら当たり」。


・Cが正解なら
司会者はBを開く。
「変更したら当たり」。


そう。「変更しなかった当たり」なのは、Aが正解の場合のみであるのに対して、
「変更したら当たり」なのは、B、Cのどちらかが正解である、二つの場合なのだ。
よって当たる確率は、変更しなかったら1/3、変更したら2/3。


最初に選ぶ扉がBでもCでも同様の議論で、1/3と2/3になる。
したがって、一般に変更したら2/3で当たりが出る、ということが言える。


○まあ
これ読んでもまだもやもやする人も、いつかわかる時が来るよ。
wikipediaみたら、すげー数のアプローチがあって笑った。
皆悩んでるんだね。